[数据结构] 平衡二叉查找树 (AVL树)

平衡因子(bf)：结点的左子树的深度减去右子树的深度，那么显然-1<=bf<=1;

AVL树的作用：

由上图可知，同样的结点，由于插入方式不同导致树的高度也有所不同。特别是在带插入结点个数很多且正序的情况下，会导致二叉树的高度是O(N)，而AVL树就不会出现这种情况，树的高度始终是O(lgN).高度越小，对树的一些基本操作的时间复杂度就会越小。这也就是我们引入AVL树的原因。

AVL树的基本操作：

AVL树的操作基本和二叉查找树一样，这里我们关注的是两个变化很大的操作：插入和删除！

我们知道，AVL树不仅是一颗二叉查找树，它还有其他的性质。如果我们按照一般的二叉查找树的插入方式可能会破坏AVL树的平衡性。同理，在删除的时候也有可能会破坏树的平衡性，所以我们要做一些特殊的处理，包括：单旋转和双旋转！

由上图可知：在插入之前树是一颗AVL树，而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏，我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的左结点的左子树上做了插入元素的操作，我们称这种情况为左左情况，我们应该进行右旋转(只需旋转一次，故是单旋转)。具体旋转步骤是：

T向右旋转成为L的右结点，同时，Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树，旋转过程图如下：

左左情况的右旋举例：

由上图可知：在插入之前树是一颗AVL树，而插入之后结点T的左右子树高度差的绝对值不再 < 1,此时AVL树的平衡性被破坏，我们要对其进行旋转。由上图可知我们是在结点T的右结点的右子树上做了插入元素的操作，我们称这种情况为右右情况，我们应该进行左旋转(只需旋转一次，故事单旋转)。具体旋转步骤是：

T向右旋转成为R的左结点，同时，Y放到T的左孩子上。这样即可得到一颗新的AVL树，旋转过程图如下：

右右情况的左旋举例：

以上就是插入操作时的单旋转情况！我们要注意的是：谁是T谁是L，谁是R还有谁是X,Y,Z!T始终是开始不平衡的左右子树的根节点。显然L是T的左结点，R是T的右节点。X、Y、Y是子树当然也可以为NULL.NULL归NULL，但不能破坏插入时我上面所说的左左情况或者右右情况。

由上图可知，我们在T结点的左结点的右子树上插入一个元素时，会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1，如果只是进行简单的右旋，得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转：

左右情况的左右旋转实例：

由上图可知，我们在T结点的右结点的左子树上插入一个元素时，会使得根为T的树的左右子树高度差的绝对值不再 < 1，如果只是进行简单的左旋，得到的树仍然是不平衡的。我们应该按照如下图所示进行二次旋转：

右左情况的右左旋转实例：

以上关于二叉树的介绍转载自 https://www.cnblogs.com/zhuwbox/p/3636783.html ，很具体，便于理解。

下面提供我所写的插入(建树)操作代码以供参考

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
//平衡二叉树 AVL树的实现 By Titan
typedef struct AVLNode *Position;
typedef Position AVLTree;
struct AVLNode{
  int Data;
  Position Left;
  Position Right;
  int Height;
}; 

int Max(int a,int b){
  return a > b ? a : b;
}
int getHeight(AVLTree T){
  if(!T){
    return -1;
  }else{
    return T->Height;
  }
}
int getMaxHeight(AVLTree A,AVLTree B){
  return Max(getHeight(A),getHeight(B));
}

//定义右单旋
AVLTree S_RR(AVLTree A){
  AVLTree B = A->Left;
    A->Left = B->Right;
    B->Right = A;
    A->Height = getMaxHeight(A->Right,A->Left)+1;
    B->Height = getMaxHeight(A->Right,A->Left)+1;
    return B;
}
//定义左单旋
AVLTree S_LR(AVLTree A){
  AVLTree B=A->Right;
  A->Right=B->Left;
  B->Left=A;
  A->Height = getMaxHeight(A->Right,A->Left)+1;
    B->Height = getMaxHeight(A->Right,A->Left)+1;
    return B;
}
//定义左右双旋(先左旋后右旋) 
AVLTree D_LR(AVLTree A){
  A->Left=S_LR(A->Left);
  AVLTree B=S_RR(A);
  return B;
} 
//定义右左双旋(先右旋后左旋) 
AVLTree D_RL(AVLTree A){
  A->Right=S_RR(A->Right);
  AVLTree B=S_LR(A);
  return B;
}

AVLTree Insert(AVLTree T,int X){
  //树空的话直接建树
  if(!T){
    T=(AVLTree)malloc(sizeof(struct AVLNode));
    T->Data=X;
    T->Left=T->Right=NULL;
    T->Height=0; 
  }
  //插入到左子树
  else if(T->Data>X){
    T->Left=Insert(T->Left,X);
    //判断是否要平衡 
    if(getHeight(T->Left)-getHeight(T->Right)==2){
      // X插入到左树的左边,右单旋转 
      if(X<T->Left->Data){
        T = S_RR(T);
      }
      // X插入到左树的右边,左右双旋 
      else if(X>T->Left->Data){
        T=D_LR(T);
      }
    } 
  }
  //插入到右子树 
  else if(T->Data<X){
    T->Right=Insert(T->Right,X);
    if(getHeight(T->Right)-getHeight(T->Left)==2){
      // X插入到右树的右边,左单旋转 
      if(X>T->Right->Data){
        T = S_LR(T);
      }
      // X插入到右树的左边,右左双旋 
      else if(X<T->Right->Data){
        T=D_RL(T);
      }
    }
      
  }// else 没插入就不用旋转了
  //更新树的高度
  T->Height = getMaxHeight(T->Right,T->Left)+1;
  return T; 
}
int main(void){
  int n,temp;
  scanf("%d",&n);
  AVLTree T=NULL;
  for(int i=0;i<n;i++){
    scanf("%d",&temp);
    T = Insert(T,temp);
  }
  printf("%d",T->Data);
}